a) Ta có  AD là đường cao của △ABC (gt) 

=> AD⊥BC => 

Tương tự ta có 

Tứ giác CEHD có :  => Tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp => 4 điểm C,H,D,E cùng thuộc 1 đường tròn 

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=180^0\)

Do đó: ADHE là tứ giác nội tiếp

hay A,D,H,E cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét tứ giác BEDC có

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

Do đó: BEDC là tứ giác nội tiếp

hay B,E,D,C cùng thuộc 1 đường tròn

Lời giải:
a. Vì $BD\perp AC, CE\perp AB$ nên:

$\widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^0$

Tứ giác $AEHD$ có tổng 2 góc đối $\widehat{HDA}+\widehat{HEA}=90^0+90^0=180^0$ nên $AEHD$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow A,D,H,E$ cũng thuộc 1 đường tròn.

b.

$\widehat{CEB}=\widehat{BDC}=90^0$, mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BEDC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow B,D,E,C$ cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

Hình vẽ:

Tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90+90=180\) nên là tứ giác nội tiếp

Suy ra A,D,H,E thẳng hàng

Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180^0\)

Do đó: ADHE là tứ giác nội tiếp

a: Xét tứ giác BCDE có 

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}\left(=90^0\right)\)

Do đó: BCDE là tứ giác nội tiếp

hay B,C,D,E cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét (O) có 

ΔAPC nội tiếp đường tròn

AC là đường kính

Do đó: ΔAPC vuông tại P

Xét (I) có 

ΔAQB nội tiếp đường tròn

AB là đường kính

Do đó: ΔAQB vuông tại Q

Xét ΔAPC vuông tại P có PD là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AP^2=AD\cdot AC\left(1\right)\)

Xét ΔAQB vuông tại Q có QE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AQ^2=AE\cdot AB\left(2\right)\)

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có 

\(\widehat{EAC}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

hay \(AB\cdot AE=AD\cdot AC\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AP=AQ

hay ΔAPQ cân tại A

a: Xét tứ giác BEDC có

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

=>B,E,D,C cùng thuộc 1 đường tròn

b: Vì \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên B,E,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

tâm là trung điểm I của BC

bán kính là BC/2

c: Xét ΔABC có

BD,CE là đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC(1)

ΔABC cân tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên AI\(\perp\)BC(2)

Từ (1),(2) suy ra A,H,I thẳng hàng

ΔABC đều

mà BD,CE là các đường cao

nên BD,CE là các đường trung tuyến

=>D,E lần lượt là trung điểm của AC,AB

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường trung tuyến

BD cắt CE tại H

Do đó; H là trọng tâm của ΔABC

mà I là trung điểm của BC

nên \(AH=\dfrac{2}{3}AI\) và \(IH=\dfrac{1}{3}IA\)

ΔAIB vuông tại I

=>\(AB^2=AI^2+IB^2\)

=>\(AI^2=2^2-1^2=3\)

=>\(AI=\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(HI=\dfrac{1}{3}HA=\dfrac{1}{3}\sqrt{3}< \dfrac{1}{3}\cdot3=IB=R\)

=>H nằm trong (I)

\(IA=\sqrt{3}>1=IB=R\)

=>A nằm ngoài (I)